Méthodes numériques pour le traitement d’images

Cours 3 : Transformée de Fourier locale et ondelettes

Emmanuel Caruyer

2019-2020, L3 SIF (ENS Rennes, Université de Rennes 1)

Représenter les transitions/discontinuités

Ajout d’une discontinuité à une image lisse et impact sur sa TF

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (1)

Soit \(f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\) telle que \(||f|| = 1\) et \(\hat{f}\) sa transformée de Fourier

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (2)

Théorème d’incertitude de Gabor-Heisenberg \[ \forall f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\text{ t.q. }||f||=1,\qquad \sigma_t(f) \sigma_\omega(f) \geq \frac{1}{2} \]

Incertitude temps-fréquence reproduit de S. Mallat (2008)

Application : analyse d’un signal

L’analyse d’un signal \(f(t)\) correspond à la projection du signal sur une famille de fonctions \(\mathcal{D} = \{\psi_\gamma(t), \gamma\in \Gamma\}\).

La transformée de Fourier à court terme (1)

Cette transformée consiste à analyser \(f\) modulé par une fenêtre glissante, \(g\) : \[ \mathcal{D} = \{ g_{u, \omega}(t) = g(t - u) \exp(i\omega t), u\in \mathbb{R}, \omega \in \mathbb{R}\} \]

Transformée de Fourier à court terme, fenêtre de Hann

La transformée de Fourier à court terme (2)

Dans cette analyse, l’échelle d’observation du signal est fixée, égale à la largeur de \(g\) : \[ \sigma_t(g_{u, \omega}) = \sigma_t(g), \qquad \sigma_\omega(g_{u, \omega}) = \sigma_\omega(g) \]

Représentation temps-fréquence des foncitons d’analyse de transformée de Fourier à court terme – extrait de S. Mallat (2008)

L’analyse multirésolution à l’aide des ondelettes (1)

La transformée en ondelettes consiste à comparer la fonction à analyser avec des versions translatées et contractées d’une même fonction \(\psi\): \[ \mathcal{D} = \left\{ \psi_{u,s}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi\left(\frac{t - u}{s}\right), u \in \mathbb{R}, s\in \mathbb{R}^+ \right\} \]

L’analyse multirésolution à l’aide des ondelettes (2)

Exemple d’une fonction mère et sa version translatée/contractée