Représenter les transitions/discontinuités

• La base de Fourier est bien adaptée pour représenter des images lisses
• Une discontinuité, même locale, est répercutée dans tout le plan de Fourier

Ajout d’une discontinuité à une image lisse et impact sur sa TF

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (1)

Soit \(f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\) telle que \(||f|| = 1\) et \(\hat{f}\) sa transformée de Fourier

• On définit le centre \(c_t(f)\) et l’étalement temporel \(\sigma_t(f)\) de \(f\) par \[ c_t(f) = \int_{-\infty}^{\infty} t |f(t)|^2 \mathrm{d}t,\qquad \sigma_t^2(f) = \int_{-\infty}^{\infty} (t - c_t(f))^2 |f(t)|^2 \mathrm{d}t. \]

• On définit la fréquence moyenne \(c_\omega(f)\) et l’étalement fréquentiel \(\sigma_\omega(f)\) par \[ c_\omega(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \omega |\hat{f}(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega,\qquad \sigma_\omega^2(f) = \int_{-\infty}^{\infty} (\omega - c_\omega(\hat{f}))^2 |\hat{f}(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega. \]

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (2)

Théorème d’incertitude de Gabor-Heisenberg \[ \forall f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\text{ t.q. }||f||=1,\qquad \sigma_t(f) \sigma_\omega(f) \geq \frac{1}{2} \]

Application : analyse d’un signal

L’analyse d’un signal \(f(t)\) correspond à la projection du signal sur une famille de fonctions \(\mathcal{D} = \{\psi_\gamma(t), \gamma\in \Gamma\}\).

• Analyse locale (en temps) \[ \langle f, \psi_\gamma \rangle = \int f(t) \psi_\gamma^*(t) \mathrm{d}t \]

• Analyse fréquentielle \[ \langle f, \psi_\gamma \rangle = \frac{1}{2\pi} \int \hat{f}(\omega) \widehat{\psi_\gamma}^*(\omega) \mathrm{d}\omega \]

• Enjeu :

  • Trouver une famille de fonctions qui permettent d’analyser \(f\) en fréquences
  • Tout en permettant de capturer les phénomènes transitoires.

La transformée de Fourier à court terme (1)

Cette transformée consiste à analyser \(f\) modulé par une fenêtre glissante, \(g\) : \[ \mathcal{D} = \{ g_{u, \omega}(t) = g(t - u) \exp(i\omega t), u\in \mathbb{R}, \omega \in \mathbb{R}\} \]

• On utilisera une fenêtre réelle et paire, \(g(t) = g(-t)\) et normalisée \(||g|| = 1\).

• Exemple \(g(t) = A (0.5 - 0.5 \cos 2\pi t - \pi)\) pour \(t\in [-1/2, 1/2]\) et \(0\) en dehors.

Transformée de Fourier à court terme, fenêtre de Hann

La transformée de Fourier à court terme (2)

Dans cette analyse, l’échelle d’observation du signal est fixée, égale à la largeur de \(g\) : \[ \sigma_t(g_{u, \omega}) = \sigma_t(g), \qquad \sigma_\omega(g_{u, \omega}) = \sigma_\omega(g) \]

Représentation temps-fréquence des foncitons d’analyse de transformée de Fourier à court terme – extrait de S. Mallat (2008)

L’analyse multirésolution à l’aide des ondelettes (1)

La transformée en ondelettes consiste à comparer la fonction à analyser avec des versions translatées et contractées d’une même fonction \(\psi\): \[ \mathcal{D} = \left\{ \psi_{u,s}(t) = \frac{1}{\sqrt{s}} \psi\left(\frac{t - u}{s}\right), u \in \mathbb{R}, s\in \mathbb{R}^+ \right\} \]

• La fonction \(\psi\) est appelée ondelette mère
• Elle vérifie les propriétés suivantes
  • \(\psi\) est centrée en 0 : \(c_t(\psi) = 0\)
  • \(\psi\) est normalisée : \(||\psi|| = 1\)
  • l’intégrale de \(\psi\) est nulle : \(\int \psi = 0\).

L’analyse multirésolution à l’aide des ondelettes (2)

• Exemple : l’ondelette de Ricket (ou « chapeau mexicain ») \[ \psi(t) = A (1 - t^2)\exp\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2}\right) \]

Exemple d’une fonction mère et sa version translatée/contractée