Représenter les transitions/discontinuités

• La base de Fourier est bien adaptée pour représenter des images lisses
• Une discontinuité, même locale, est répercutée dans tout le plan de Fourier

Ajout d’une discontinuité à une image lisse et impact sur sa TF

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (1)

Soit \(f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\) telle que \(||f|| = 1\) et \(\hat{f}\) sa transformée de Fourier

• On définit le centre \(c_t(f)\) et l’étalement temporel \(\sigma_t(f)\) de \(f\) par \[ c_t(f) = \int_{-\infty}^{\infty} t |f(t)|^2 \mathrm{d}t,\qquad \sigma_t^2(f) = \int_{-\infty}^{\infty} (t - c_t(f))^2 |f(t)|^2 \mathrm{d}t. \]

• On définit la fréquence moyenne \(c_\omega(f)\) et l’étalement fréquentiel \(\sigma_\omega(f)\) par \[ c_\omega(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \omega |\hat{f}(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega,\qquad \sigma_\omega^2(f) = \int_{-\infty}^{\infty} (\omega - c_\omega(\hat{f}))^2 |\hat{f}(\omega)|^2 \mathrm{d}\omega. \]

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence

Localisation d’une fonction en temps et en fréquence (2)

Théorème d’incertitude de Gabor-Heisenberg \[ \forall f\in \mathbf{L}^2(\mathbb{R})\text{ t.q. }||f||=1,\qquad \sigma_t(f) \sigma_\omega(f) \geq \frac{1}{2} \]