Méthodes numériques pour le traitement d’images

Cours 2 : Filtrage linéaire, Transformée de Fourier continue et discrète

Emmanuel Caruyer

2019-2020, L3 SIF (ENS Rennes, Université de Rennes 1)

Décomposition d’une fonction et filtre linéaire

Espace de fonctions

Filtre linéaire et convolution (1)

Filtre linéaire et convolution (2)

Exemple: moyennage uniforme sur une fenêtre \([t - \alpha, t + \alpha]\) \[Lf(t) = \frac{1}{2\alpha} \int_{t-\alpha}^{t+\alpha} f(t')\mathrm{d}t'\]

Filtrage par moyennage uniforme

Filtre linéaire et convolution (3)

Filtre linéaire et convolution (4)

Exemple: moyennage uniforme sur une fenêtre \([t - \alpha, t + \alpha]\) \[Lf(t) = \frac{1}{2\alpha} \int_{t-\alpha}^{t+\alpha} f(t')\mathrm{d}t'\]

Polynôme trigonométrique et convolution

De \(\mathbf{L}^2(\mathbb{R})\) aux images numériques

Le cas discret et fini (1)

Le cas discret et fini (2)

Transformée de Fourier d’une image

Propriétés de la transformée de Fourier

Filtre linéaire invariant par translation [vu en TP]

Application d’un filtre via transformée de Fourier

Périodicité de l’image [vu en TP]

Image originale/fenêtrée et sa transformée de Fourier

Approximation par filtre passe-bas (1/2) [vu en TP]

Effet du filtre passe-bas sur une image

Approximation par filtre passe-bas (2/2) [vu en TP]

On peut quantifier la qualité de la reconstruction avec le Peak signal to noise ratio (PSNR) \[ PSNR = 10 \log_{10} \frac{d^2}{MSE} \]

\(d\) est la dynamique du signal (typiquement la valeur maximale pour une image), et \(MSE\) l’erreur quadratique moyenne

Effet du filtre passe-bas sur une image (PSNR)

def psnr(image, reference):
    dynamics = np.max(reference)
    mse = np.mean(np.abs(image - reference)**2)
    return 10 * np.log10(dynamics**2 / mse)